ĐỀ THAM KHẢO ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
MÔN TOÁN - NĂM HỌC 2025 – 2026

ĐỀ SỐ 28
Bài 1. (1,5 điểm) Cho hàm số ( P) : y  

x2
4

a) Vẽ đồ thị ( P) của hàm số trên.
b) Tìm những điểm M thuộc ( P) có tung độ bằng 2 lần hoành độ.
Bài 2. (1,0 điểm) Cho phương trình x 2  10 x  11  0
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức
A   x1  2024 x2  x2  2025 x2 2  x12
Bài 3. (1,5 điểm) Cho biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn số lượng máy tính để bàn và máy tính
xách tay được bán ra trong 6 tháng đầu năm của một công ty X. Số lượng tính theo đơn vị
cái

BIỂU ĐỒ BIỂU DIỄN SỐ LƯỢNG MÁY TÍNH BÁN RA TRONG
6 THÁNG ĐẦU NĂM
90

80

59

80
50

SỐ LƯỢNG

70
60
50
40

30

60
50

43

38

70

40

41

30
21

30

23

20

20

20

14
7

10
0

10
0

Một

Hai

Ba

Máy tính để bàn

THÁNGBốn

Năm

Sáu

Máy tính xách tay

a) Trong 6 tháng đầu năm, tháng có sự chênh lệch giữa số lượng máy tính xách tay và máy tính để
bàn được bán ra là ít nhất?
b) Chọn ngẫu nhiên 1 tháng trong 6 tháng đầu năm, tính xác suất của các biến cố sau:
A: “Tháng được chọn có số lượng máy tính để bàn mà công ty bán được không quá 30 cái”
B: “Tháng được chọn có số lượng máy tính xách tay mà công ty bán được ít nhất 50 cái”

3
chiều dài.
5
Người ta làm hai lối đi rộng x  m  và 2 x  m  như hình vẽ. Phần đất còn lại dùng để trồng cây.
Bài 4. (1,0 điểm) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 25m, chiều rộng bằng

a) Viết biểu thức diện tích đất dùng để trồng cây theo x
b) Biết rằng diện tích lối đi lớn hơn diện tích đất trồng cây là 175m 2 . Tìm x.
Bài 5. (1,0 điểm) Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 92 học sinh. Trong đợt thu nhặt giấy báo cũ thực
hiện kế hoạch nhỏ. Lớp 9A có 5 học sinh mỗi bạn góp 7kg, các bạn còn lại trong lớp mỗi bạn góp
được 5kg. Lớp 9B có 17 học sinh mỗi bạn góp 6kg, các bạn còn lại trong lớp mỗi bạn góp được
8kg.
a) Tính số học sinh của mỗi lớp, biết cả hai lớp góp được 457 kg giấy báo cũ.
b) Hỏi số lượng kg giấy mỗi bạn còn lại của lớp 9A góp được nằm trong khoảng nào nếu tổng số
lượng giấy báo cũ từ 697kg đến 797kg. Biết lớp 9A vẫn có 7 học sinh mỗi bạn góp 6kg, lớp 9B
vẫn có 12 học sinh mỗi bạn góp 8kg, các bạn còn lại trong lớp mỗi bạn góp được 7kg. (kết quả
làm tròn đến hàng phần mười)
Bài 6. (1,0 điểm) Gạch ống là một sản phẩm được tạo hình thành
từ đất sét và nước, được kết hợp lại với nhau theo một công thức
chung hợp lý mới có thể tạo ra hỗn hợp dẻo quánh, sau đó chúng
được đổ vào khuôn, rồi đem phơi hoặc sấy khô và cuối cùng là đưa
vào lò nung. Một viên gạch hình hộp chữ nhật có kích thước dài
20cm , rộng 8cm , cao 8cm . Bên trong có bốn lỗ hình trụ bằng
nhau có đường kính đáy 2, 5cm .
a) Tính thể tích đất sét để làm một viên gạch. (Lấy   3,14 )
b) Theo tính toán, bác Ba muốn xây một ngôi nhà phải mua 10
thiên gạch, giá một viên là 1100 đồng. Nhưng khi thi công, bác Ba
phải mua dư 2% số gạch cần dùng dự phòng cho hư hao. Tính số tiền bác Ba mua gạch để xây
căn nhà, biết 1 thiên gạch là 1000 viên.

Bài 7. (3,0 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB.
Vẽ đường kính BD và MD cắt  O  tại C. Gọi H là giao điểm của MO và AB.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp và MA2  MC.MD .
b) Gọi K là trung điểm của CD, L là giao điểm của AH và MC. Chứng minh MH .MO  ML.MK
  300 . Tính MH và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OLH
c) Cho AB  R 3 và MHC
theo R.

ĐÁP ÁN
Bài 1:
a)
x
y

x2
4

4

2

4

1 0

0

2

4

1

4

b) Gọi M  xM ; yM 
Vì M có tung độ bằng 2 lần hoành độ nên yM  2.xM
Thay M  xM ; yM  vào y  

x2
, ta được:
4
xM2
4
xM2
2.xM  
4
8.xM   xM2
yM  

xM2  8 xM  0

xM  x M  8   0

xM  0 hay xM  8  0
xM  0 hay xM  8
Với xM  0 nên yM  2.0  0
Với xM  8 nên yM  2.  8  16

Vây M  0;0  , M  8; 16  thỏa yêu cầu đề bài.

Bài 2:
a)  a  1; b  10; c  11

  b 2  4ac   10   4.1.  11  144  0
2

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
b) Theo định lí vi – ét:
c 11
b   10 
 11
S  x1  x2 

 10 , P  x1.x2  
a
1
a
1
A   x1  2024 x2  x2  2025 x22  x12
 x1.x2  2024.x22  2025 x22  x12
 x1.x2  x22  x12
 P  S 2  2P
  11  10 2  2.  11
 111
Vậy A  111
Bài 3:
a)
Sự chênh lệnh giữa số lương máy tính xách tay và máy tính để bàn được ra ở tháng 1:
80  30  50 (máy tính)
Sự chênh lệnh giữa số lương máy tính xách tay và máy tính để bàn được ra ở tháng 2:
41  21  20 (máy tính)
Sự chênh lệnh giữa số lương máy tính xách tay và máy tính để bàn được ra ở tháng 3:
38  23  15 (máy tính)
Sự chênh lệnh giữa số lương máy tính xách tay và máy tính để bàn được ra ở tháng 4:
50  20  30 (máy tính)
Sự chênh lệnh giữa số lương máy tính xách tay và máy tính để bàn được ra ở tháng 5:
43  14  29 (máy tính)
Sự chênh lệnh giữa số lương máy tính xách tay và máy tính để bàn được ra ở tháng 6:
59  7  52 (máy tính)
Vậy sự chênh lệnh giữa số lương máy tính xách tay và máy tính để bàn được bán ra ít nhất là trong
tháng 3.
b) Số tháng có số lượng máy tính để bàn mà công ty bán được không quá 30 cái: 4 (tháng)
 Số phần tử của biến cố A là 4.
4 2
Xác suất của biến cố A: P  A   
6 3
Số tháng có số lượng máy tính xách tay mà công ty bán được ít nhất 50 cái: 2 (tháng)
 Số phần tử của biến cố B là 2.

Xác suất cua biến cố B: P  B  

2 1

6 3

Bài 4:
a) Chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật:

3
.25  15  m 
5

25  x
m
2
15  2 x
Chiều rộng của một phần đất trồng cây:
m
2
 25  x   15  2 x  2
Diện tích của một phần đất trồng cây: 
 .
 m 
 2  2 
Diện tích của phần đất trồng cây:
 25  x   15  2 x 
4. 


 2  2 
Chiều dài của một phần đất trồng cây:

 4.

 25  x 15  2 x 

4
  25  x 15  2 x 
 375  50 x  15 x  2 x 2
 375  65 x  2 x 2  m2 

b) Điều kiện xác định:
x  25 và 2 x  15
x  25 và x  7,5

 x  7,5
Diện tích mảnh đất : 25.15  375  m2 
Diện tích lối đi: 375   375  65 x  2 x 2   375  375  65 x  2 x 2  65 x  2 x 2  m 2 
Vì diện tích lối đi lớn hơn diện tích đất trồng cây là 175m 2 , nên ta có:

 65x  2 x    375  65 x  2 x   175
2

2

65 x  2 x 2  375  65 x  2 x 2  175
4 x 2  130 x  375  175  0
4 x 2  130 x  550  0
Giài phương trình: x1  27, 5 (loại), x2  5 (nhận)
Vậy x  5
Bài 5:

a) Gọi x (học sinh) là số học sinh của lớp 9A  x  N * 
Gọi y (học sinh) là số học sinh của lớp 9B  y  N * 
Số kg giấy lớp 9A góp: 5.7  5.  x  5   kg  .
Số kg giấy lớp 9B góp: 17.6  8.  y  17   kg 
Vì số học sinh tổng cộng là 92 học sinh, nên ta có:
x  y  92 1
Vì cả hai lớp góp được 547 kg giấy báo cũ, nên ta có:

5.7  5.  x  5   17.6  8.  y  17   547
35  5 x  25  102  8 y  136  547
5 x  8 y  547  35  25  102  136
5 x  8 y  571  2 
Từ 1 ,  2  , ta có hệ phương trình:
 x  y  92

5 x  8 y  571
 x  55  n 
Giải hệ phương trình: 
 y  37  n 
Vậy số học sinh lớp 9A, 9B lần lượt là 55 học sinh, 37 học sinh.
b) Gọi a  kg  là số giấy kg mỗi bạn còn lại của lớp 9A góp  a  0 
Số kg giấy lớp 9A góp: 7.6   55  7  .a  42  48a  kg 
Số kg giấy lớp 9B góp: 12.8   37  12  .7  271  kg 
Vì tổng số lương giấy từ 697 kg đến 797 kg, nên ta có:

697  42  48a  271  797
697  48a  313  797
384  48a  484
8  a  10,1
Vậy số lượng kg giấy mỗi bạn còn lại lớp 9A góp nằm trong khoảng từ 8 kg đến 10,1 kg .
Bài 6:
a) Thể tích của một viên gạch: 20.8.8  1280  cm3 
Thể tích bốn lỗ hình trụ: 4.3,14.  2,5  .8  628  cm3 
2

Thể tích đất sét để làm một viên gạch: 1280  628  652  cm3 
b) 10 thiên gạch = 10 000 viên gạch.
Số viên gạch bác Ba phải mua:
10000. 100%  2%   10 200 (viên gạch)

Số tiền bác Ba mua gạch để xây căn nhà:
10200.1100  11 220 000 (đồng)

Vậy số tiền bác Ba mua gạch là 11 220 000 (đồng).

Bài 7:

a) Xét OAM vuông tại A
OM: cạnh huyền
 O, A, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (1)
Xét OBM vuông tại B
OM: cạnh huyền
 O, B, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (2)
Từ (1) và (2) => M, A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM
 MAOB nội tiếp
Xét  O  :

  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
DCB
Xét MCB và MBD :
 : góc chung
M

  MBD
  90
MCB
 MCB ~ MBD (g-g)
MC MB


MB MD

 MB 2  MC.MD
Mà MB  MA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

 MA2  MC.MD
b) Xét ODC
OD  OC (bán kính)
 ODC cân tại O.

Mà OK là đường trung tuyến (K là trung điểm CD).
 OK là đường cao của ODC .
 OK  CD

Ta có:

MA  MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
OA  OB (bán kính)

 OM là đường trung trực của AB.
mà OM cắt AB tại H
 OM  AB tại H và H là trung điểm AB.

Xét MKO và MHL :

  MHL
  90  OK  CD, OM  AB  .
MKO
 : góc chung
M
 MKO ~ MHL (g-g)



MK MO

MH ML

 MK .ML  MH .MO

c) Ta có:
H là trung điểm AB (cmt)

 HB 

AB R 3

2
2

Xét OHB vuông tại H
R 3
  HB  2  3
sin HOB
OB
R
2

  60 hay MOB
  60
 HOB
  MOB
  60 (cùng phụ HMB
)
Ta có: HBM
Xét HBM vuông tại H

HM
HB
HM
tan 60 
R 3
2
R 3
HM 
.tan 60
2
3
HM  R
2


tan HBM

Xét MBO và MHB
 : Chung
M

  MOB
 (cùng phụ HMB
)
HBM
 MBO ~ MHB (g-g)
MB MO


MH MB

 MB 2  MH .MO
Mà MB 2  MC.MD (cmt)

 MH .MO  MC .MD



MH MC

MD MO

Xét MCH và MOD
 : chung
M

MH MC

(cmt)
MD MO
 MCH ~ MOD (c-g-c)

  MDO
  30
 MHC
Xét DKO vuông tại K


sin KDO
sin 30 

KO
DO

KO
R

KO  sin 30.R 

R
2

Xét OBM vuông tại B
OB
OM
R
cos 60 
OM
R
OM 
 2R
cos 60


cos MOB

Xét OKM vuông tại K

MK 2  MO 2  OK 2 (Pythagore)
MK 2  4 R 2 
MK 2 

MK 

15 2
R
4

R 15
2

R2
4

Ta có: MKO ~ MHL (cmt)



MK KO

MH HL

R 3
. R
KO.MH 2 2
3
15
 HL 


.R 
R
MK
10
R 15 2 15
2

3
1
Ta có: OH  OM  MH  2 R  R  R
2
2
Xét OLH vuông tại L

OL2  HL2  OH 2 (Pythagore)
15 2 1 2
R  R
100
4
2
OL2  R 2
5
2
OL  R
5
OL2 

Xét OLH vuông tại H
OL : cạnh huyền
 OLH nội tiếp đường tròn đường kính OL.

 Bán kính đường tròn ngoại tiếp OLH : OL : 2  R

2
10
:2  R
.
5
10